射影空间 $\mathbb{P}^2$ 中的三次曲线
设 $P_i\in\mathbb{P}^2$, $i=1,2,3,\ldots,8$ 处于一般位置. 也就是说, 没有四个点是共线的, 并且没有七个点在同一个圆锥曲线(conic)上.
设 $F$ 是一个带有十个未知系数($a_1,a_2,\ldots,a_{10}$)的三次多项式(generic cubic polynomial), 联立方程组
\[
F(P_1)=F(P_2)=\cdots=F(P_8)=0\tag{*}
\]
是一个带有10个未知系数的由8个线性方程构成的线性方程组.
(1) 证明: 如果这八个点 $P_1,P_2,\ldots,P_8$ 处于一般位置, 则线性方程组 $(*)$ 的秩等于 8.
(2) 利用线性代数中的 Rank-Nullity 定理, 证明: 存在两个线性独立的三次曲线(cubics) $F_1(x,y,z)$ 和 $F_2(x,y,z)$, 使得过这八个点 $P_1,P_2,\ldots,P_8$ 的任意三次曲线具有形式 $\lambda F_1+\mu F_2$.
(3) 对于处于一般位置的八个点, 我们断言, 存在唯一的第九个点 $P_9$, 使得每条通过这八个给定点的三次曲线都必定经过点 $P_9$.
题目来源: [Ex 2.3.11, Book]
[Book] Algebraic Geometry: A Problem Solving Approach